Prawa gazowe są zależnościami łączącymi między sobą parametry gazu takie jak ciśnienie, objętość, temperaturę, ilość moli oraz inne paramentry, takie jak ciśnienie cząstkowe czy stężenie. Podstawowe prawo gazowe używane na maturze to równanie Clapeyrona
\[pV = nRT\]
Które można zapamiętać jako
\[piVo = na\ RaTy\]
W równaniu Clapeyrona stosuje się dwa systemy jednostek– chemiczny (najczęściej spotykane jednostki) oraz fizyczny (jednostki SI). Należy używać oczywiście konsekwentnie jednego wybranego systemu, natomiast należy podkreślić, iż w zależności od stosowanego systemu używamy różnych wartości stałych gazowych. Jednocześnie należy pilnować, aby wstawiać temperaturę w Kelvinach, a nie w stopniach Celsjusza. Aby zamienić wartość temperatury w stopniach Celsusza na Kelviny należy dodać do te wartości \(273.15\)
\[T\text{/}K = T\text{/}{^\circ}C + 273.15\]
| \[p\] | \[V\] | \[n\] | \[R\] | \[T\] | |
|---|---|---|---|---|---|
| ciśnienie | objętość | mole | Stała gazowa | temperatura | |
| chem | \[\mathbf{hPa}\] | \[\mathbf{d}\mathbf{m}^{\mathbf{3}}\] | \[\mathbf{mol}\] | \[\mathbf{83.145}\frac{\mathbf{hPa·d}\mathbf{m}^{\mathbf{3}}}{\mathbf{mol·K}}\] | \[\mathbf{K = 273 + C}\] |
| fiz | \[Pa\] | \[m^{3}\] | \[mol\] | \[8.3145\frac{Pa·m^{3}}{mol·K}\] | \[K = 273 + C\] |
Zamiana innych jednostek jest zgodna z standardowym przekształcaniem ich (tablice maturalne)
\[101315Pa = 1013.15hPa\]
Gaz, o którym wiadomo, że jest gazem idealnym spełnia założenia równania Clapeyrona:
- cząstki gazu nie oddziaływują między sobą (czyli się nie kleją ani odpychają np. wiązania wodorowymi)
- cząstki gazu są nieskończenie małymi kulkami (punkty), nie mają objętości
Oczywiście widać, iż przedstawione założenia są uproszczeniami, zwłaszcza dla układów, w którym jest duże ciśnienie gazu (wówczas cząstki są bliskie siebie, a tym samym zaczynają oddziaływać między sobą i jednocześnie zajmują sobą realnie sporą objętość)
Podkreślam, iż zapis, że gaz jest gazem idealny to znaczy, że możemy stosować Clapeyrona.
Na maturze do tej pory występowało tylko równanie Clapeyrona, nigdy nie spotkałem się z innym, więc jeżeli w zadaniu nie ma informacji wstępnej to stosujemy prawo Clapeyrona i zależności z niego wynikające. Należy sobie zdawać sprawę, iż istnieją inne równania gazowe, ale mogą one wystąpić na maturze tylko z informacją wstępną. W związku z czy, jeżeli nie mamy stwierdzenia „gaz idealny” to szukamy innego równania gazu (popularne równanie to tzw. Wiralne równanie gazu), ale jeżeli go nie mamy podanego tzn. autor zadania zapomniał napisać ze mamy gaz idealny. Przykładami innych równań dotyczących gazów są:
Wirialne równanie gazu:
\[pV = RT\ \left( 1 + \frac{B}{V_{mol}} + \frac{C}{V_{mol}^{2}} + \ldots \right)\]
\[pV = nRT\ \left( 1 + \frac{B}{V} + \frac{C}{V^{2}} + \ldots \right)\]
Gdzie \(B,\ C\ itd\) to parametry wyznaczane empirycznie dla danego gazu.
Oraz równanie van der Wallsa-:
\[\left( p + \frac{a}{V_{mol}^{2}} \right)\left( V_{mol} - b \right) = RT\]
\[\left( p + \frac{n^{2}a}{V^{2}} \right)(V - bn) = nRT\]
Gdzie
\(a\) - stała charakterystyczna dla danego gazu, uwzględniająca oddziaływania między cząsteczkami gazu
\(b\) - stała charakterystyczna dla danego gazu, uwzględniająca skończone wymiary cząsteczek.
Wzory wynikające z równania Clapeyrona
Z równania Clapeyrona można wyprowadzić szereg wzorów, opisujących zależności pomiędzy parametrami gazów. Pojęcie objętości molowej – objętości zajmowanej przez jeden mol gazu pochodzi z równania Clapeyrona:
\[pV = nRT\]
Dla jednego mola gazu objętość ta być równa objętości molowej:
\[pV_{mol} = 1·RT\]
Dzieląc przez ciśnienie
\[\mathbf{V}_{\mathbf{mol}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{RT}}{\mathbf{p}}\]
Po wstawieniu danych liczbowych dla warunków normalnych ( \(p = 1013.25hPa,\ T = 273.15K)\) otrzymujemy wartość objętości molowej równej:
\[V_{mol} = \frac{83.145·273.15}{1013.25} = 22.4\frac{dm^{3}}{mol}\]
Jest to wartość, która zwykle w szkole podawana jest bez ładu i składu – wynika ona dokładnie z tego obliczenia. Nie jest to, więc jakaś „magiczna” stała, wynika ona wprost z przedstawionego powyżej wzoru. W przypadku innych warunków ciśnienia i temperatury możemy obliczyć nową wartość objętości molowej i stosować ją zamiast tej wartości \(22.4\frac{dm^{3}}{mol}\) . Np., jeżeli w zadaniu podadzą, że masz warunki \(p = 1500hPa;T = 150C = 423.15K\) możemy obliczyć nową objętość molową \(V_{mol}\)
\[V_{mol} = \frac{83.145·423.15}{1500} = 23.5\frac{dm^{3}}{mol}\]
I tę nową wartość objętości molowej będziemy stosować zamiast wartości \(22.4\frac{dm^{3}}{mol}\)
Ogólnie znany jest wzór łączący ilość moli z objętością: \(n = \frac{V}{V_{mol}}\) . Wzór ten wynika z podzielania przez siebie stronami dwóch równań Clapeyrona - jednego dla jednego mola, a drugiego dla dowlnej ilości moli:
\[pV = nRT\]
\[pV_{mol} = 1·RT\]
Dzieląc przez siebie dostajemy:
\[\frac{pV}{pV_{mol}} = \frac{nRT}{RT}\]
Po skróceniu przez siebie \(p,\ R\ i\ T\) :
\[\frac{V}{V_{mol}} = n\]
Wzory na gęstość gazu. Łącząc wzór na gęstość, ilość moli w zależności od masy oraz równanie Clapeyrona dostaniemy zależność łączącą gęstość gazu, masę molową, ciśnienie i temperaturę. Oczywiście gęstość dowolnej substancji to masa podzielona na objętość. Ilość moli zawsze jest równa masie podzielonej na masę molową:
\[d = \frac{m}{V}\ \ ;\ \ \ m = nM \rightarrow \mathbf{n} = \frac{m}{M}\]
Równanie Clapeyrona ma postać
\[pV = \mathbf{n}RT\]
Wstawiając za \(n = \frac{m}{M}\) dostajemy:
\[pV = \frac{m}{M}RT\]
Przerzucając masę molową na lewo, a objętość na prawo otrzymujemy:
\[pM = \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{V}}RT\]
Człon \(\frac{m}{V}\) równy jest gęstości
\[pM = \mathbf{d}RT\]
A więc po przekształceniach dostajemy wzór:
\[\mathbf{d}_{\mathbf{gazu}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{pM}}{\mathbf{RT}}\]
Czyli znając warunki ciśnienia i temperatury jestem w stanie obliczyć gęstość gazu, jeżeli wiem, jaką ma masę molową oraz w drugą stronę, jeżeli znam gęstość gazu oraz warunki ciśnienia i temperatury mogę obliczyć masę molową, a z tego powiedzieć jaki to mam gaz, szczególnie jeżeli mam ich ograniczoną ilość do wyboru. Np. obliczona masa molowa gazu wynosi \(16\frac{g}{mol}\) → to, który to może być gaz?
\(H_{2}\) b) \(\mathbf{C}\mathbf{H}_{\mathbf{4}}\) c) \(NO_{2}\) d) \(\ NO\)
Tylko metan, bo tylko on spełnia warunek właściwej masy molowej
Z wyprowadzonego wzoru wynika, iż gęstość gazu jest tylko proporcjonalna do masy molowej przy ustalonych tych samych warunkach ciśnienia i temperatury, a więc chcąc posegregować gazy po wzrastającej gęstości możemy to zrobić segregując po masach molowych.
Nie trzeba się uczyć, iż gęstość wodoru jest mniejsza niż gęstość powietrza, a chloru większa, tylko można powiedzieć, iż wystarczy porównywać masy molowe – im większa masa molowa tym cięższy gaz:
\[M_{H_{2}} = 2;\ \ \ \ \ \overline{M_{powietrza}} = 28.8\ = 0.2·M_{O_{2}} + 0.8M_{N_{2}},\ \ M_{Cl_{2}} = 71\]
Natomiast przyglądając się wyprowadzonemu wzorom na gęstość i na objętość molową możemy dostrzec :
\[d = \frac{\frac{pM}{p}}{\frac{RT}{p}}\]
\[\mathbf{d =}\frac{\mathbf{p}\mathbf{M}}{\mathbf{RT}} = \frac{\frac{pM}{p}}{\frac{RT}{p}} = \frac{M}{\frac{RT}{p}}\ \ \ \ i\ \ V_{mol} = \frac{RT}{p}\]
Czyli gęstość gazu równa masie molowej podzielonej przez objętość molową:
\[d = \frac{M}{V_{mol}}\]
Wówczas gęstości danego gazu w warunkach normalnych jest banalne:, np. oblicz gęstość ma wodór w warunkacj normalnych?
\[d_{H_{2}} = \frac{2\frac{g}{mol}}{22.4\frac{dm^{3}}{mol}} = 0.089\frac{g}{dm^{3}}\]
Gęstość gazów mamy najczęściej wyrażane jako 0.1-20 \(\frac{g}{dm^{3}}\) gęstość cieczy i ciał stałych \(0.1 - 20\frac{g}{cm^{3}}\) . Wniosek: gazy są tysiąc bardziej rozcieńczone, natomiast znając jednostkę gęstości możemy powiedzieć czy coś jest gazem czy jest cieczą/ c. Stałym.
Gęstość względna gazów to podzielone przez siebie dwie gęstości gazow zmierzone przy stałych p i T. I w praktyce to mamy
\[\mathbf{d}_{\frac{\mathbf{gaz}\mathbf{2}}{\mathbf{gaz}\mathbf{1}}}^{\mathbf{wzg}} = \frac{\mathbf{d}_{\mathbf{gaz}\mathbf{2}}}{\mathbf{d}_{\mathbf{gaz}\mathbf{1}}} = \frac{\frac{M_{gaz2}}{V_{mol}}}{\frac{M_{gaz1}}{V_{mol}}} = \frac{\mathbf{M}_{\mathbf{gaz}\mathbf{2}}}{\mathbf{M}_{\mathbf{gaz}\mathbf{1}}}\]
Czyli gęstość względna w praktyce jest stosunkiem mas molowych dwóch gazów.
„Niebezpieczeństwo” związane z prawami gazowymi polega na właściwym rozpoznaniu zadania z tego tematu. Przykładem jest:
„Pewien alkan, którego chiralne cząsteczki mają rozgałęziony łańcuch węglowy, w temperaturze \(T\)
i pod ciśnieniem \(p\) jest gazem i ma gęstość 50 razy większą od gęstości wodoru wyznaczonej w tych warunkach. W reakcji chlorowania tego alkanu może powstać 6 różnych monochloropochodnych, będących izomerami konstytucyjnymi (bez uwzględniania stereo izomerów). Oblicz liczbę atomów węgla w cząsteczce opisanego alkanu oraz napisz jego wzór półstrukturalny (grupowy).
Zadanie pozornie wygląda jak zadanie z chemii organicznej, dodatkowo nie mamy podanej żadnej danej liczbowej. Jedyne, co jest podane, to że mamy gaz o gęstości większej 50 od gęstości wodoru. Ta dana jest kluczowa, bo umożliwia znalezienie masy molowej badanego alkanu i jednocześnie otwiera drogę rozwiązania tego zadania:
\[\frac{d_{alkanu}}{d_{H_{2}}} = 50 = \frac{M_{alkan}}{M_{H_{2}}}\]
\[M_{alkan} = 50·2 = 100\frac{g}{mol}\]
Alkan ma wzór ogólny \(C_{n}H_{2n + 2}\) więc z masy molowej możemy ustalic ilość atomów węgla i wodoru w nim:
\[n·12 + (2n + 2)·1 = 100\]
\[14n + 2 = 100 \rightarrow n = 7\]
Analizowany węglowodór ma wzór \(C_{7}H_{16}\) , przechodzimy do ustalania jaka jest jego struktura metodami wariantowymi:
Kolejnym parametrem jest spotykanym w zadaniach jest ciśnienie cząstkowe gazu – jest to ciśnienie, jakie wywierałby dany gaz jeżeli byłby w układzie sam (bez obecności innych gazów). Zapisując dwa równania Clapeyrona, jedno dla samego analizowanego gazu, drugie dla wszystkich moli gazowych w układzie:
\[p_{gaz1}V = n_{gaz1}RT\]
\[p_{calk}V = n_{calk}RT\]
Dzieląc te równania przez siebie dostajemy:
\[\frac{p_{gaz1}V}{p_{calk}V} = \frac{n_{gaz1}RT}{n_{calk}RT}\]
\[\frac{p_{gaz1}}{p_{calk}} = \frac{n_{gaz1}}{n_{calk}}\]
Stosunek \(\frac{n_{gaz1}}{n_{calk}}\) to stosunek ilości moli danego gazu do całkowitej ilości moli wszystkich gazów tzw. ułamek molowy, najczęściej zapisywany jako \(\chi_{gaz1} = \frac{n_{gaz1}}{n_{calk}}\)
Czyli można zapisać, iż
\[p_{gaz1} = \frac{n_{gaz1}}{n_{calk}}p_{calk}\]
\[p_{gaz1} = \chi_{gaz1}p_{calk}\]
Można wyprowadzić, że suma ułamków molowych wszystkich składników danego układu sumuje się do jednego
\[\ \chi_{gaz1} = \frac{n_{gaz1}}{n_{calk}}\]
\[\text{ }\chi_{gaz1} + \ \chi_{gaz2} + \ \chi_{gaz3} + \ldots = \frac{n_{gaz1}}{n_{gaz1} + n_{gaz2} + n_{gaz3} + \ldots} + \frac{n_{gaz2}}{n_{gaz1} + n_{gaz2} + n_{gaz3} + \ldots} + \frac{n_{gaz3}}{n_{gaz1} + n_{gaz2} + n_{gaz3} + \ldots} + \ldots = \frac{n_{gaz1} + n_{gaz2} + n_{gaz3} + \ldots}{n_{gaz1} + n_{gaz2} + n_{gaz3} + \ldots} = 1\]
Ciśnienie gazu można połączyć z stężeniem molowym tego gazu:
\[p_{gaz1}V = n_{gaz1}RT\]
\[p_{gaz1} = \frac{n_{gaz1}}{V}RT\]
\[p_{gaz1} = c_{gaz1}RT\]
A więc im większe ciśnienie cząstkowe danego gazu tym większe jego stężenie molowe. Jednocześnie znając ciśnienie danego gazu i temperaturę to w sumie mamy stężenie tego gazu.
Często nadużywane prawa na maturze tzn. nieliczone jako komplikacja zadania – mówi o tym, że stosunek ilości moli gazów jest równy stosunkowi ich objętości (jeżeli spełnione są warunki \(p,T = const\) ). Zapisując dwa równania Clapeyrona:
\[pV_{gaz1} = n_{gaz1}RT\]
\[pV_{gaz2} = n_{gaz2}RT\]
Po podzieleniu ich przez siebie otrzymujemy:
\[\frac{pV_{gaz1}}{pV_{gaz2}} = \frac{n_{gaz1}RT}{n_{gaz2}RT}\]
\[\frac{V_{gaz1}}{V_{gaz2}} = \frac{n_{gaz1}}{n_{gaz2}}\]
Drugie nadużywane prawo dotyczące gazów mówi, że procent molowy gazu (czyli ułamek molowy gazu*100%) równy jest procentowi objętościowemu
\[pV_{gaz} = n_{gaz}RT\]
\[\frac{pV_{gaz}}{RT} = n_{gaz}\]
\[\text{ }{\text{ }\%}_{mol} = \chi_{gaz1}100\% = \frac{n_{gaz1}}{n_{gaz1} + n_{gaz2} + \ldots}100\% = \frac{\frac{pV_{gaz1}}{RT}}{\frac{pV_{gaz1}}{RT} + \frac{pV_{gaz2}}{RT} + \ldots}100\% = \frac{\frac{p}{RT}V_{gaz1}}{\frac{p}{RT}(V_{gaz1} + V_{gaz2} + \ldots)}100\% = \frac{V_{gaz1}}{V_{gaz1} + V_{gaz2} + \ldots}100\% = \%_{V}\]
W zadaniach ostatnio zaczęło się pojawiać zakaz zakładania warunków normalnych w zadaniach. Należy wówczas wykonywać obliczenia stechiometryczne na proporcjach bądź tabelkach związanych z objętościami, ciśnieniami lub stężeniami dotyczące. Poniżej podane jest, na których parametrach można układać proporcje stechiometryczne, wraz z koniecznymi warunkami:
Na molach zawsze
Na ciśnieniach cząstkowych gazów (pod warunkiem V, T =const)
Na objętościach gazów (pod warunkiem p, T =const)
Na steżęniach molowych (pod warunkiem V=const)
Zadania z praw gazowych praktycznie nie występują na maturze, natomiast stosunkowo często występuje komplikacja w zadaniach związana z koniecznością użycia praw gazowych w tym zadaniu.
W zasadzie większość zadań polega na znalezieniu odpowiedniego wzoru i wykorzystaniu go. W związku, z czym najllepiej jest umieścić wzory nad biurkiem i widząc gaz w zadaniu należy się zastanowić nad możliwością użycia jednego z tych praw.
Przykładem „czystego” zadania na prawa gazowe jest :
Wiadomo, iż ciśnienie atmosferyczne =1013hPa. \(\%_{O_{2}}^{vol} = 21\%\) Jakie jest stężenie tego tleny w powietrzu (T=298K)? Jaką masę tlenu zawiera V=1.5 dm^3 w której jest powietrze?
Zadanie rozpoczynamy od zastąpienia ułamka objętościowego ułamkiem molowym:
\[\%_{vol} = \%_{mol} = 21\% \rightarrow x_{mol}^{O_{2}} = 0.21\]
Kolejno można obliczyć ciśnienie cząstkowe tlenu:
\[p_{O_{2}} = x_{O_{2}}p_{calk} = 0.21·1013 = 212.73hPa\]
A następnie jego stężenie:
\[p_{O_{2}} = c_{O_{2}}RT\]
\[p_{O_{2}} = c_{O_{2}}RT\]
Wstawiając dane liczbowe otrzymujemy:
\[c_{o_{2}} = \frac{p_{O_{2}}}{RT} = \frac{212.73}{83.145·298} = 0.00859\frac{mol}{dm^{3}}\]
Następnie mogę obliczyć ilość moli tlenu z przekształcenia wzoru:
\[c_{O_{2}} = \frac{n}{V}\]
Co umożliwia również obliczenie masy tlenu:
\[n_{O_{2}} = 0.00858·1.5 = 0.01287 \rightarrow m = nM = 0.412\]
Alternatywnie i trochę łatwiej można obliczyć ilość moli całkowitą gazu:
\[p_{calk}V_{calk} = n_{calk}RT\]
\[1013·1.5 = n_{calk}·8.3145·298\]
\[n_{calk} = \frac{1013·1.5}{83.145·298} = 0.06132mol\]
A następnie procent molowy:
\[\%_{vol} = \%_{mol} = 21\% \rightarrow x_{mol}^{O_{2}} = 0.21\]
\[n_{O_{2}} = \frac{\%_{vol}}{100\%}·0.06132 = 0.21·0.06132 = 0.01287 \rightarrow m_{O_{2}} = nM\]
Oblicz gęstość kwasu octowego \(CH_{3}COOH\) w fazie gazowej, jeżeli kwas ten tworzy asocjaty (czyli połączone np. wiązaniami wodorowymi dwie lub więcej cząsteczek) złożone z dwóch cząsteczek, jeżeli wiadomo, że ciśnienie równe jest 100hPa a, a temperatura wynosi 80° C.
Zadanie rozpoczynamy od odnalezienia wzoru na gęstość gazu:
\[d = \frac{pM}{RT}\ d = \frac{M}{V_{mol}}\ \ d = \frac{m}{V}\]
Widzimy, iż powinniśmy stosować pierwszy wzór - mamy podaną masę molową, ciśnienie oraz temperaturę. Używam oczywiście dwukrotności masy molowej – dwie cząstki gazu poruszają się razem, a więc jego masa molowa jest dwukrotnością:
\[d = \frac{pM}{RT} = \frac{100·2·60}{83.145·(80 + 273)} = 0.409\frac{g}{dm^{3}}\]
Oblicz w jakim stosunku objętościowym zmieszano substraty \(H_{2}\ \) i \(N_{2}\) , wiedząc, że po reakcji ułamek objętościowy wodoru \(\%_{V}^{H_{2}^{K}}\) w mieszaninie wynosił 20%, natomiast amoniaku \(\%_{V}^{NH_{3}^{K}} = 50\%\ \) . Straty związane są z niecałkowitym przereagowaniem reagentów.
\[N_{2} + 3H_{2} \rightarrow 2NH_{3}\]
Możemy napisać, iż \(\%_{mol} = \%_{V}\) , co zmienia zadanie na zadanie opart na molach.
\[\%_{mol}^{H_{2}^{K}} = 20\%\ \ \%_{mol}^{NH_{3}^{K}} = 50\%\ \ i\ wtedy\ \%_{mol}^{N_{2}^{K}} = 100\% - (50\% + 20\%) = 30\%\ \]
W zadaniu jest podany stosunek i jednocześnie szukaną jest stosunek oraz nie mamy podanej żadnej ilości moli, a więc możemy sobie jedną rzecz założyć, w celu wygody rachunków.
Zakładając za mole końcowe azotu 7 moli, mogę obliczyć mole wszystkich reagentów:
\[\%_{mol} = \frac{n_{N_{2}}^{k}}{n_{wszy}^{k}} = 30\%\]
\[\frac{7}{n_{wszy}^{K}}100\% = 30\%\]
\[n_{wszy}^{k} = \frac{7}{0.3} = 23.33\]
Kolejno obliczam resztę moli reagentów:
\[n_{NH_{3}}^{k} = 23.33·0.5 = 11.67\]
\[n_{H_{2}^{k}} = 23.33·0.2 = 4.666\]
Następnie używam tabelki do zbilansowania moli początkowych i końcowych
| \[H_{2}\] | \[N_{2}\] | \[NH_{3}\] | |
|---|---|---|---|
| \[n^{0}\] | \[n_{H_{2}}^{0}\] | \[n_{N_{2}}^{0}\] | \[0\] |
| \[\Delta n\] | \[- 3x\] | \[- x\] | \[+ 2x\] |
| \[n^{k}\] | \[n_{H_{2}}^{0} - 3x =\] | \[n_{N_{2}}^{0} - x =\] | \[2x =\] |
| \[n^{k}\] | \[4.666\] | \[7\] | \[11.67\] |
\[2x = 11.67 \rightarrow x = 5.835\]
\[n_{H_{2}}^{0} - 3x = 4.666 \rightarrow n_{H_{2}}^{0} = 4.666 + 3·5.835 = 22.171\]
\[n_{N_{2}}^{0} - x = 7 \rightarrow n_{N_{2}}^{0} = 12.835\]
Mając mole początkowe obliczam ich stosunek. Jest on równy stosunkowi objętościowemu:
\[\frac{V_{H_{2}}^{0}}{V_{N_{2}}^{0}} = \frac{n_{H_{2}}^{0}}{n_{N_{2}}^{0}} = \frac{22.171}{12.835} = \mathbf{1.727}\]