Mol jest pojęciem ilości sztuk takim jak tuzin – różnica polega na tym, że tuzin to 12 natomiast mol to taki tuzin na sterydach - \(6.02·10^{23}\) sztuk, obie te wielkości możemy stosować zarówno w mikroświecie jak i makroświecie, a więc w praktyce możemy mówić o tuzinie psów – 12 sztukach psów i tak samo możemy mówić o molu psów - \(6.02·10^{23}\) sztukach. Z podobieństwa tych dwóch wielkości wynika, iż każde pojęcie i operacja matematyczna, która ma sens dla tuzina, ma też sens dla mola, ale w związku z niemożliwością wyobrażenia sobie tak dużej wartości, jaką jest \(6.02·10^{23}\) sztuk, może wyobrażać sobie tuzin i patrzeć czy dana operacja działa. Każda operacja, która działa na tuzinie będzie działać też na molu. Wartość \(6.02·10^{23}\) tzw. stałej Avogadra została dobrana tak, aby po prostu masa molowa danego związku wyrażona w gramach była liczbowo równa masie jednej drobiny tegoż związku wyrażonej w unitach.
Najważniejsze jest stwierdzenie, że TO, CO DZIALA CI NA TUZINIE ZAWSZE BEDZIE DZIAŁAć NA MOLU, dla tuzina nijako wartość stałej tuzinowej \("N_{A} = 12"\) ; a dla mola \(N_{A} = 6.02·10^{23}\)
W zapisach molowych preferowany zapis można przedstawić, jako:
\[n,m,N_{czego}^{warunki}\]
Gdzie \(n\) - ilość moli, \(m\) - masę, \(N\) - ilość sztuk, \(V\) -objętość, \(czego\) -symbolizuje substancję, którą rozważamy, natomiast \(warunki\) - to warunki w jakich substancja się znajduje. Zastosowanie jednoznaczne przedstawionej metody zapisu umożliwia jednoznaczny zapis warunków prowadzenia i otworzenia ich po dowolnym czasie. Kategorycznie nie należy używać oznaczeń typu \(x\) gdyż przez nadużywanie są one niejednoznaczne i tym samym wymagają rozwiązania całego zadania, aby dowiedzieć czym one są.
Rozwiązywanie zadań proporcjami również należy skrytykować – proporcję jest bardzo łatwo zapisać, ale bardzo ciężko sprawdzić jej poprawność. Moim zdaniem należy stosować wówczas wzory, które wiążą najczęściej występujące wartości molowe w zadaniach:
\[n = \frac{m}{M};\ \ \ \ \ n_{gazu} = \frac{V_{gazu}}{V_{mol}};\ \ \ n = \frac{N}{N_{A}}\]
Gdzie
\(n -\) ilość moli, \(m\) - masa zważona; \(M\) - masa molowa „ta z układu”; \(V_{gazu}\) - objętość gazu, \(V_{mol}\) - objętość molowa gazu, w warunkach normalnych \(22.4\frac{dm^{3}}{mol}\) ; \(N\) - ilość sztuk, \(N_{A}\) -stałą Avogadra
Z przedstawionych zależności wynika, iż mole są najbardziej uniwersalną wartością z wymienionych i tym samym są najbardziej uniwersalne – można je z łatwością przekształcić na dowolną inna potrzebną wartość.
Rozpatrzmy zadanie na poziomie podstawówki:
Ilość sztuk jajek to 30. Oblicz ile to tuzinów jajek?
Ilość tuzinów jajek z łatwością obliczymy przez podzielenie ilości sztuk jajek przez 12:
\[n_{tuzinow} = \frac{N_{sztuk}}{12} = \frac{30}{12} = 2.5\ tuzina\]
Analogiczne zadanie związane z obliczeniami molowymi, o podobnym stopniu skomplikowania ma postać:
Ile moli cząsteczek wody stanowi \(3.01·10^{22}\) sztuk cząsteczek wody?
W przypadku tego zadania ilość sztuk cząsteczek wody po prostu podzielimy przez stałą Avogadra analogicznie jak w przypadku tuzinów, gdzie dzieliliśmy przez dwanaście:
\[n_{H_{2}O} = \frac{N_{H_{2}O}}{N_{A}} = \frac{3.01·10^{22}}{6.02·10^{23}} = 0.05\ mol\]
Rozpatrzmy dalsze zadanie związane z molami:
Mieliśmy 2.5 tuzina jajek z Czarnobyla, każde z nich miało po 4 żółtka. Ile tuzinów żółtek miałeś?
Zadanie to można rozwiązać na dwa sposoby – albo obliczając najpierw ilość sztuk jajek, potem ilość żółtek a następnie ilość tuzinów żółtek lub, co wymaga trochę sprytu, ale jest znacznie szybsze ułożenia proporcji na tuzinach.
Wedle pierwszej metody najpierw należy obliczyć ilość sztuk jajek, w tym celu mnożę ilość tuzinów razy dwanaście
\[N_{jajek} = 12n_{jajek} = 12·2.5 = 30\]
Można obliczyć najpierw obliczając ilość sztuk żółtek mnożąc ilość jajek razy 4 – każde jajko ma 4 żółtka.
\[N_{zoltek} = 4N_{jajek} = 4·30 = 120\]
Po podzieleniu tej wartości przez 12 – ilość sztuk w jednym tuzinie otrzymam ilość tuzinów żółtek:
\[n_{zoltek}^{tuzinow} = \frac{N_{zoltek}}{12} = \frac{120}{12} = 10\]
Metoda jest dość oczywista, ale wymaga dużej ilości rachunków.
Druga metoda jest znacznie szybsza – wymaga ułożenia jednej proporcji. Jeżeli jedno jajko ma 4 żółtka to tuzin jajek (12 sztuk) ma 4 tuziny żółtek (48 sztuk), a dowolna ilość tuzinów jajek będzie zawierała proporcjonalną ilość żółtek. Możemy mądrość tę zapisać proporcją:
\[jajko - - - żółtko\]
\[1sztuk - - - 4sztuki\]
\[\text{ }1tuzin - - - 4\ tuziny\]
\[\left( n_{jajek}^{tuzin} = 2.5 \right) - - - n_{tuzinow}^{zoltek}\]
Wymnożenie proporcji daje nam od razu ilość tuzinów żółtek.
\[n_{tuzinow}^{zoltek} = 4·2.5 = 10\ tuzinow.\]
Analogiczne zadanie będzie miało postać:
Oblicz ile moli atomów zawiera \(0.05\) mola cząsteczek wody.
Wcześniej ustaliliśmy, iż jeżeli jakaś metoda działa na tuzinach to działa też na molach, a więc możemy zadanie to rozwiązać również dwiema metodami; albo obliczając ilość sztuk cząsteczek wody, następnie ilość sztuk atomów i przeliczając na ilość moli albo co znacznie szybsze układając proporcje na molach – bo jeżeli działała na tuzinach to będzie również działać na molach
Wykorzystując pierwszą metodę, na początku musimy obliczyć ilość sztuk cząsteczek wody z ilości sztuk ilość moli wody na ilość sztuk cząsteczek wody:
\[N_{H_{2}O} = n_{H_{2}O}N_{A} = 0.05·6.02·10^{23} = 3.01·10^{22}\]
Jedna cząsteczka wody zawiera jeden atom tlenu, a więc sztuk atomów tlenu będziemy mieli dokładnie tyle, ile mamy sztuk cząsteczek wody:
\[N_{O} = N_{H_{2}O} = 3.01·10^{22}\]
Atomów wodoru jest dwa razy więcej niż cząsteczek wody:
\[N_{H} = 2N_{H_{2}O} = 6.02·10^{22}\]
Czyli łącznie mamy atomów:
\[N_{atomow} = 6.02·10^{22} + 3.01·10^{22} = 9.03·10^{22}\]
Ilość sztuk przeliczam na ilość moli atomów używając stałej Avogadra:
\[n_{atomów} = \frac{N_{atomów}}{N_{A}} = \frac{9.03·10^{22}}{6.02·10^{23}} = 0.15\]
Metoda jest poprawna, ale żeby nie jest ona przyjemna z uwagi na „brzydkie” liczby, dodatkowo względnie łatwo o błąd rachunkowy.
Alternatywnie znając ilość moli cząsteczek wody \(n_{H_{2}O} = 0.05\ \) układam proporcje analogiczną do poprzedniej z jajkami i żółtkami. Jedna cząsteczka wody zawiera 3 atomy (dwa atomy wodoru + atom tlenu). Jeden tuzin – 12 sztuk cząsteczek wody zawiera 3 tuziny atomów (dwa tuziny – 24 sztuki atomów wodoru + 1tuzin -12 sztuk atomów tlenu), a dowolna ilość tuzinów zawierać będzie proporcjonalną ilość atomów. Jeżeli dana proporcja działa na tuzinach, to również działa na molach. Mając daną \(0.05\ mol\) cząsteczek wody mogę ułożyć proporcję:
\[H_{2}O - - - atomy\]
\[1sztuk - - - 3sztuki\ atomów\]
\[1\ tuzin - - - 3tuzin\]
W przypadku tego zadania mogę zapisać, że 1 mol zawiera 3 mole atomów:
\[H_{2}O - - - atomy\]
\[1mol - - - 3\ mole\]
\[0.05\ mol - - - n_{atomów}\]
Wówczas ilość moli atomów mamy po jednym krótkim obliczeniu:
\[n_{atomów} = 0.05·3 = 0.15\]
Metoda ta jest znacznie wygodniejsza – unikamy obliczeń z „brzydkimi” liczbami i wykładnikami, a dodatkowo ilość obliczeń jest znacznie ograniczona.
Pojęcie masy molowej
Masa molowa zdefiniowana jest, jako masa jednego mola danego związku lub drobiny wyrażona w gramach. Masę tę można odczytać z układu okresowego; jest ona liczbowo równa masie jednej cząsteczki wyrażonej w unitach. Masa molowa cząsteczki jest równa sumie mas molowych wszystkich wchodzą w skład cząsteczki
Np. masę molową \(H_{2}SO_{4}\) obliczę, jako sumę mas molowych
\[M_{H_{2}SO_{4}} = 2·M_{H} + M_{S} + 4·M_{O} = 2·1.008 + 32.06 + 4·16 = 98.076\frac{g}{mol}\ \]
Zależność pomiędzy masą zważoną („tą użytą w reakcji”), masą molową oraz ilością moli przedstawia wzór:
\[n = \frac{m}{M}\]
Gdzie \(n\) to ilość moli substancji, \(m\) - masa zważona – realna masa próbki, \(M\) - masa molowa, „ ta z układu”.
Przykładem zadania, w którym wykorzystuje analogiczne pojęcie związane z tuzinem jest
Jeden tuzin groszy wazy 19.68 g. Oblicz ile tuzinów groszy i ile sztuk groszy znajduje się w 1 kilogramie groszy.
Znając masę próbki z groszami i masę „tuzinową” – masę jednego tuzina groszy mogę obliczyć ilość tuzinów groszy znajdujących się w 1 kilogramie groszy:
\[n_{tuzinów} = \frac{m_{zwazona}}{M_{tuzina}} = \frac{1\ 000}{19.68} = 50.81\ tuzinow\ groszy\]
Następnie obliczam ilość sztuk groszy mnożąc ilość tuzinów groszy przez 12:
\[N_{groszy} = n_{groszy}^{tuzinow}·12 = 50.81·12 = 609.72 = 610groszy\]
Obliczenia przy użyciu masy molowej są dokładną analogią tych obliczeń, rozważmy zadanie:
Oblicz ilość moli cząsteczek wody i oraz ilość sztuk cząsteczek wody, które znajdują się w 1000 g wody.
Najpierw z układu okresowego obliczam masę molową wody:
\[M_{H_{2}O} = 2·1.008 + 16 = 18.016\]
Następnie stosując wzór \(n_{H_{2}O} = \frac{m_{H_{2}O}}{M_{H_{2}O}}\) obliczam ilość moli wody w próbce:
\[n_{H_{2}O} = \frac{m_{H_{2}O}}{M_{H_{2}O}} = \frac{1000}{18.016} = 55.5mol\]
Ilość moli wody wykorzystuje do obliczenia ilości sztuk wody: \(N_{H_{2}O} = n_{H_{2}O}N_{A}\)
\[N_{H_{2}O} = n_{H_{2}O}N_{A} = 55.5·6.02·10^{23} = 334.1·10^{23}\]
Porównując dwa powyższa zadania widzimy, iż dla tuzina używamy 12, a dla mola \(6.02·10^{23}\) , a pojęcie masy molowej jest analogicznym pojęciem jak masa tuzinowa – masa dwunastu sztuk czegoś.
Masa molowa i masa jednej cząsteczki wyrażona w gramach są z sobą powiązane. Najłatwiej jest je połączyć układając proporcję; wiemy, że masa jednego mola jest równa masie molowej, a więc \(6.02·10^{23}\) sztuk interesujących drobin waży tyle, ile wynosi masa molowa. Interesuje nas masa jednej sztuki, co mogę zapisać np. dla \(NaOH\) o masie molowej \(40\frac{g}{mol}\) jako:
\[1mol = 6.02·10^{23}sztuk - - - 40g\]
\[\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1\ sztuka - - - m_{sztuki}\]
Po wymnożeniu otrzymujemy masę jednej sztuki cząsteczki \(NaOH\) :
\[m_{sztuki} = \frac{40}{6.02·10^{23}} = 0.1661·10^{- 23}·40 = 6.644·10^{- 23}g\ \]
Czyli ogólna proporcja do przeliczania masy wyrażonej w gramach na masę jednej cząsteczki wygląda następująco:
\[6.02·10^{23} - - - M_{molowa}\]
\[1 - - - m_{sztuki}\]
Przykłady zadań prostych, związanych z przeliczaniem ilości moli, mas i tabelkami:
Jaka jest ilość sztuk atomów zawartych w 10 gramach \(P_{2}O_{5}\) ?
Najpierw obliczam ilość moli \(P_{2}O_{5}\) wykorzystując wzór:
\[n_{P_{2}O_{5}} = \frac{m}{M} = \frac{10}{2·30.97 + 5·16} = 0.0705mol\ \ _{P_{2}O_{5}}\]
\[n_{P_{2}O_{5}} = \frac{N_{P_{2}O_{5}}}{N_{A}}\]
\[0.0705 = \frac{N_{P_{2}O_{5}}}{6.02·10^{23}}\]
\[N_{P_{2}O_{5}} = 0.0705·6.02·10^{23} = 0.424·10^{23}\]
Znając ilość sztuk \(P_{2}O_{5}\) można obliczyć ilość sztuk atomów, układając proporcję:
\[P_{2}O_{5} - - - atomy\]
\[1 - - - 7\]
\[0.424·10^{23} - - - N_{Atomow}\]
Po wymnożeniu dostajemy odpowiedź:
\[N_{atomow} = 0.424·10^{23}·7 = 3·10^{23}\]
Oblicz masę próbki kwasu octowego, o której wiemy, że ilość atomów wodoru w niej wynosi \(5·10^{24}\) .
Zadanie układy od napisania proporcji – jedna cząsteczka kwasu octowego zawiera cztery atomy wodoru; znając ilość sztuk atomów wodoru będę w stanie obliczyć ilość sztuk cząsteczek kwasu octowego:
\[CH_{3}COOH - - - H\]
\[1 - - - 4\]
\[N_{CH_{3}COOH} - - - 5·10^{24}\]
Wówczas ilość sztuk kwasu octowego wynosi:
\[4N_{CH_{3}COOH} = 5·10^{24}\]
\[N_{CH_{3}COOH} = 1.25·10^{24}\]
Wielkość tę używam do obliczenia liczby moli kwasu octowego:
\[n_{CH_{3}COOH} = \frac{N_{CH_{3}COOH}}{N_{A}} = \frac{1.25·10^{24}}{6.02·10^{23}} = 0.2076·10 = 2.076\ mol\]
Liczba moli danego reagenta powiązana jest z masą tegoż reagenta przez masę molową, wzorem \(m = nM\)
\[m_{CH_{3}COOH} = n_{CH_{3}COOH}·M_{CH_{3}COOH} = 2.076·(12 + 12 + 4 + 32) = 124.56g\]
W ilu \(dm^{3}\) tlenku chloru (I) \(Cl_{2}O\) w warunkach normalnych znajduje się taka sama ilość chloru co w 6.75g tlenku chloru (IV) \(ClO_{2}\) ?
Zadanie rozpoczynam od obliczenia ilości moli \(ClO_{2}\) , korzystając ze wzoru łączącego mole, masę i masę molową:
\[n_{ClO_{2}} = \frac{m}{M} = \frac{6.75}{35.5 + 2·16} = 0.1\]
Znając ilość moli \(ClO_{2}\) mogę powiedzieć, że ilość moli atomów chloru jest taka sama jak tego związku, gdyż jedna cząsteczka zawiera jeden atom, jeden tuzin cząsteczek zawiera jeden tuzin atomów, a jeden mol – jeden mol. Wówczas:
\[n_{Cl} = n_{ClO_{2}} = 0.1\]
Znając ilość moli chloru mogę obliczyć ile cząsteczek \(Cl_{2}O\) potrzebuje. W tym celu wykorzystuje propocję – jedna cząsteczka zawiera dwa atomy, a więc jeden mol tych cząsteczek zawiera dwa mole atomów, a reszta proporcjonalnie:
\[Cl_{2}O - - - Cl\]
\[1czasteczka - - - 2\ atomy\]
\[1mol\ czas - - - 2\ mole\ atomów\]
\[n_{Cl_{2}O} - - - 0.1\]
Mnożąc na krzyż uzyskuje:
\[2n_{Cl_{2}O} = 0.1 \rightarrow n_{Cl_{2}O} = 0.05\ mol\]
Znając ilość moli gazu \(Cl_{2}O\) mogę obliczyć, jaką objętość on zajmuje wykorzystując wzór:
\[n_{Cl_{2}O} = \frac{V_{Cl_{2}O}}{V_{mol}}\]
Wstawiając za \(n_{Cl_{2}O} = 0.05\) , a za \(V_{mol} = 22.4\) , bo warunki normalne obliczam objętość gazu:
\[0.05 = \frac{V_{Cl_{2}O}}{22.4} \rightarrow V_{Cl_{2}O} = 1.12\ dm^{3}\]